Area Mathematics - General concepts and linear algebra / Vectors and tensors

IEV ref 102-03-01

en
vector space
linear space
for a given set of scalars, set of elements for which the sum of any two elements U and V and the product of any element and a scalar α are elements of the set, with the following properties:

• $U+V=V+U$,
• $\left(U+V\right)+W=U+\left(V+W\right)$, where W is also an element of the set,
• there exists a neutral element for addition, called zero vector and denoted by 0, such that: $U+0=U$,
• there exists an opposite $\left(-U\right)$ such that $U+\left(-U\right)=0$,
• $\left(\alpha +\beta \right)\text{\hspace{0.17em}}U=\alpha \text{\hspace{0.17em}}U+\beta \text{\hspace{0.17em}}U$, where β is also a scalar,
• $\alpha \text{\hspace{0.17em}}\left(U+V\right)=\alpha \text{\hspace{0.17em}}U+\alpha \text{\hspace{0.17em}}V$,
• $\alpha \text{\hspace{0.17em}}\left(\beta \text{\hspace{0.17em}}U\right)=\left(\alpha \text{\hspace{0.17em}}\beta \right)\text{\hspace{0.17em}}U$,
• $1\text{\hspace{0.17em}}U=U$

Note 1 to entry: In the usual three-dimensional space, the directed line segments with a specified origin form an example of a vector space over real numbers. Another example, corresponding to the extended concept of scalar (see IEV 102-02-18, Note 1) is the set of n-bit words formed of the digits 0 and 1 with addition modulo two, where the set of scalars is the set of two elements 0 and 1 subject to Boolean algebra.

fr
espace vectoriel, m
pour un ensemble donné de scalaires, ensemble d'éléments dans lequel la somme de deux éléments quelconques U et V et le produit d'un élément quelconque par un scalaire α sont des éléments de l'ensemble, avec les propriétés suivantes:

• $U+V=V+U$,
• $\left(U+V\right)+W=U+\left(V+W\right)$, où W est aussi un élément de l'ensemble,
• il existe un élément neutre pour l'addition, appelé vecteur nul et noté 0, tel que $U+0=U$,
• il existe un opposé $\left(-U\right)$ tel que $U+\left(-U\right)=0$,
• $\left(\alpha +\beta \right)\text{\hspace{0.17em}}U=\alpha \text{\hspace{0.17em}}U+\beta \text{\hspace{0.17em}}U$, où β est aussi un scalaire,
• $\alpha \text{\hspace{0.17em}}\left(U+V\right)=\alpha \text{\hspace{0.17em}}U+\alpha \text{\hspace{0.17em}}V$,
• $\alpha \text{\hspace{0.17em}}\left(\beta \text{\hspace{0.17em}}U\right)=\left(\alpha \text{\hspace{0.17em}}\beta \right)\text{\hspace{0.17em}}U$,
• $1\text{\hspace{0.17em}}U=U$

Note 1 à l'article: Dans l'espace usuel à trois dimensions, les segments orientés ayant une origine spécifiée constituent un espace vectoriel sur les nombres réels. Un autre exemple, correspondant à l'extension du concept de scalaire (voir IEV 102-02-18, Note 1), est l'ensemble des mots de n bits formés des chiffres 0 et 1 avec addition modulo deux, où l'ensemble de scalaires est l'ensemble des deux éléments 0 et 1 muni de l'algèbre de Boole.

de
Vektorraum, m

es
espacio vectorial

ko
벡터공간

ja
ベクトル空間

 nl BE vectorruimte, f

pl
przestrzeń wektorowa, f
przestrzeń liniowa, f

pt
espaço vetorial

sr
векторски простор, м јд
линеарни простор, м јд

sv
linjär rymd
vektorrymd

zh