Area Mathematics - General concepts and linear algebra / Scalar and vector fields

IEV ref 102-05-22

en
rotation
curl
vector rot U associated at each point of a given space region with a vector U, equal to the limit of the integral over a closed surface S of the vector product of the vector surface element and the vector U, divided by the volume of the interior of the surface, when the surface is contained in a sphere the radius of which tends to zero

$\mathbsf{rot}U=\underset{V\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{1}{V}\underset{\text{S}}{∯}{e}_{n}×U\mathrm{d}A$

where endA is the vector surface element oriented outwards and V is the volume

Note 1 to entry: In orthonormal Cartesian coordinates, the three coordinates of the rotation are:

$\frac{\partial \text{\hspace{0.17em}}{U}_{z}}{\partial \text{\hspace{0.17em}}y}-\frac{\partial \text{\hspace{0.17em}}{U}_{y}}{\partial \text{\hspace{0.17em}}z}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}},\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\frac{\partial \text{\hspace{0.17em}}{U}_{x}}{\partial \text{\hspace{0.17em}}z}-\frac{\partial \text{\hspace{0.17em}}{U}_{z}}{\partial \text{\hspace{0.17em}}x}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}},\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\frac{\partial \text{\hspace{0.17em}}{U}_{y}}{\partial \text{\hspace{0.17em}}x}-\frac{\partial \text{\hspace{0.17em}}{U}_{x}}{\partial \text{\hspace{0.17em}}y}$

Note 2 to entry: The rotation of a polar vector is an axial vector and the rotation of an axial vector is a polar vector.

Note 3 to entry: The rotation of the vector field U is denoted by $\mathbsf{rot}U$ or $\mathbf{\nabla }×U$. In some English texts, the rotation is denoted by $\mathbsf{curl}U$.

fr
rotationnel, m
vecteur rot U associé en tout point d'un domaine déterminé de l'espace à un vecteur U, égal à la limite du quotient de l'intégrale, sur une surface fermée S, du produit vectoriel de l'élément vectoriel de surface et du vecteur U, par le volume de l'intérieur de la surface, lorsque celle-ci est contenue dans une sphère dont le rayon tend vers zéro

$\mathbsf{rot}U=\underset{V\to 0}{\mathrm{lim}}\frac{1}{V}\underset{\text{S}}{∯}{e}_{n}×U\mathrm{d}A$

endA est l'élément vectoriel de surface orienté vers l'extérieur et V est le volume

Note 1 à l'article: En coordonnées cartésiennes orthonormées, les trois coordonnées du rotationnel sont

$\frac{\partial \text{\hspace{0.17em}}{U}_{z}}{\partial \text{\hspace{0.17em}}y}-\frac{\partial \text{\hspace{0.17em}}{U}_{y}}{\partial \text{\hspace{0.17em}}z}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}},\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\frac{\partial \text{\hspace{0.17em}}{U}_{x}}{\partial \text{\hspace{0.17em}}z}-\frac{\partial \text{\hspace{0.17em}}{U}_{z}}{\partial \text{\hspace{0.17em}}x}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}},\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\frac{\partial \text{\hspace{0.17em}}{U}_{y}}{\partial \text{\hspace{0.17em}}x}-\frac{\partial \text{\hspace{0.17em}}{U}_{x}}{\partial \text{\hspace{0.17em}}y}$.

Note 2 à l'article: Le rotationnel d'un vecteur polaire est un vecteur axial et celui d'un vecteur axial est un vecteur polaire.

Note 3 à l'article: Le rotationnel du champ vectoriel U est noté $\mathbsf{rot}U$ ou $\mathbf{\nabla }×U$. Dans certains textes anglais, il est noté $\mathbsf{curl}U$.

de
Rotor, m
Rotation, f

es
rotacional

ko
회전

ja

 nl BE rotor, mrotatie, f

pl
rotacja

pt
rotacional

sr
ротор, м јд

sv
rotation

zh