Area Physics for electrotechnology / Relativistic physics for electrotechnology IEV ref 113-07-11 Symbol $\text{\hspace{0.17em}}\underset{_}{\underset{_}{A}}$ en four-vector4-vector vector in space-time consisting of a one-dimensional time-related component and a spatial three-dimensional vector Note 1 to entry: Four-vector symbols can be written using two different forms of presentation: a light face single letter in italics with a double underscore, which is that form mostly used in the special theory of relativity (STR) when the first component is imaginary, by analogy with the underscoring of symbols of complex quantities, e.g. $\text{\hspace{0.17em}}\underset{_}{\underset{_}{x}}$; a light face single letter in italics with a subscript (denoting the covariant component) or a superscript (denoting the contravariant component), which can or cannot be enclosed in braces (curly brackets), and which is that form mostly used in theoretical physics in both special theory of relativity and general theory of relativity (GTR), e.g. $\left\{{x}_{\text{μ}}\right\}$ or $\left\{{x}^{\text{μ}}\right\}$, ${x}_{\mu }$ or ${x}^{\mu }$. Note 2 to entry: In STR, the time-related component can be expressed as an imaginary quantity, using symbol $\mathrm{j}$ as the imaginary unit. Then, pseudo-Euclidean metric can be used with rules of Euclidean metric but allowing negative magnitudes $|\underset{_}{\underset{_}{x}}|<0$ and zero magnitudes $|\underset{_}{\underset{_}{x}}|=0$ even for $\underset{_}{\underset{_}{x}}\ne 0$. See IEV 113-07-18. In case time-related component is real, it is denoted as the fourth component ${x}_{4}=ct$ and the space-related components are ${x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}$. The corresponding components of the metric tensor yielding the four-scalar product and squared four-magnitude have opposite signs, e.g., for flat space-time in STR ${g}_{11}={g}_{22}={g}_{33}=1$, ${g}_{44}=-1$ or ${g}_{11}={g}_{22}={g}_{33}=-1$, ${g}_{44}=1$. In GTR, the non-diagonal metric tensor is used. Note 3 to entry: The representations used in this part of IEC 60050 are $\underset{_}{\underset{_}{x}}=\left({x}_{0},{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}\right)=\left\{{x}_{\mu }\right\}=\left({x}_{0},\left\{{x}_{m}\right\}\right)$, where ${x}_{0}$ is the time-related component and ${x}_{m}$ are the space-related components. In three-dimensional space, components of three-dimensional vectors are denoted using lowercase Latin letters for indices $\left(i,j,k,l,m,\dots \right)$. In four-dimensional space, components of four-dimensional vectors are denoted using lowercase Greek letters for indices, $\left(\text{ι},\text{κ},\text{λ},\text{μ},\text{ν},\dots \right)$. In STR, indices range usually from 0 to 3, where 0 is used for the imaginary time-related component, and in GTR, indices range usually from 1 to 4 where 4 is used for the real time-related component.Examples in STR are the position four-vector $\underset{_}{\underset{_}{x}}\text{\hspace{0.17em}}:=\left({x}_{0},{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}\right)=\left(\mathrm{j}{c}_{0}t,x,y,z\right)$ and the electromagnetic four-potential $\underset{_}{\underset{_}{A}}=\left(\mathrm{j}V/{c}_{0}\text{;}{A}_{x},{A}_{y},{A}_{z}\right)=\left(\mathrm{j}V/{c}_{0}\text{;}\stackrel{\to }{A}\right)$. Note 4 to entry: If there is no risk of misunderstanding, “free index symbolic” is used, e.g. a component ${x}_{\mu }$ instead of full vector $\left\{{x}_{\text{μ}}\right\}$. Index $\text{μ}$ is then called “free index”. fr quadrivecteur, m vecteur dans l’espace-temps qui comprend une composante temporelle unidimensionnelle et un vecteur spatial tridimensionnel Note 1 à l’article: Les symboles des quadrivecteurs peuvent s’écrire sous deux formes différentes: une lettre unique en italique ordinaire avec double soulignement, qui est la forme utilisée principalement dans la relativité restreinte lorsque la première composante est imaginaire, par analogie au soulignement des symboles de grandeurs complexes, par exemple $\text{\hspace{0.17em}}\underset{_}{\underset{_}{x}}$; une lettre unique en italique ordinaire avec un indice (indiquant une composante covariante) ou un exposant (indiquant une composante contravariante), délimitée ou non par des accolades, qui est la forme principalement utilisée en physique théorique dans la relativité restreinte et la relativité générale, par exemple $\left\{{x}_{\text{μ}}\right\}$ ou $\left\{{x}^{\text{μ}}\right\}$, ${x}_{\mu }$ ou ${x}^{\mu }$. Note 2 à l’article: En relativité restreinte, la composante temporelle peut être exprimée en tant que grandeur imaginaire, avec le symbole $\mathrm{j}$ comme unité imaginaire. Puis, la métrique pseudo-euclidienne peut être utilisée avec les règles de la métrique euclidienne, mais en admettant des amplitudes négatives $|\underset{_}{\underset{_}{x}}|<0$ et des amplitudes nulles $|\underset{_}{\underset{_}{x}}|=0$ même pour $\underset{_}{\underset{_}{x}}\ne 0$. Voir IEV 113-07-18. Lorsque la composante temporelle est réelle, elle est désignée comme la quatrième composante ${x}_{4}=ct$ et les composantes spatiales sont ${x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}$. Les composantes correspondantes du tenseur métrique qui génèrent le produit quadriscalaire et la norme au carré, ont des signes opposés, par exemple, pour un espace-temps plat en relativité restreinte ${g}_{11}={g}_{22}={g}_{33}=1$, ${g}_{44}=-1$ ou ${g}_{11}={g}_{22}={g}_{33}=-1$, ${g}_{44}=1$. En relativité générale, le tenseur métrique non diagonal est utilisé. Note 3 à l’article: Les représentations utilisées dans la présente partie de l’IEC 60050 sont $\underset{_}{\underset{_}{x}}=\left({x}_{0},{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}\right)=\left\{{x}_{\mu }\right\}=\left({x}_{0},\left\{{x}_{m}\right\}\right)$, où ${x}_{0}$ est la composante temporelle et les ${x}_{m}$ représentent les composantes spatiales. Dans l’espace tridimensionnel, les composantes des vecteurs tridimensionnels sont désignées au moyen de lettres latines minuscules pour les indices $\left(i,j,k,l,m,\dots \right)$. Dans l’espace quadridimensionnel, les composantes des vecteurs quadridimensionnels sont désignées au moyen de lettres grecques minuscules pour les indices, $\left(\text{ι},\text{κ},\text{λ},\text{μ},\text{ν},\dots \right)$. En relativité restreinte, les indices sont généralement compris entre 0 et 3, où 0 est utilisé pour la composante temporelle imaginaire, et en relativité générale, les indices sont généralement compris entre 1 et 4 où 4 est utilisé pour la composante temporelle réelle.Exemples en relativité restreinte: quadrivecteur position $\underset{_}{\underset{_}{x}}\text{\hspace{0.17em}}:=\left({x}_{0},{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}\right)=\left(\mathrm{j}{c}_{0}t,x,y,z\right)$ et quadrivecteur potentiel électromagnétique $\underset{_}{\underset{_}{A}}=\left(\mathrm{j}V/{c}_{0}\text{;}{A}_{x},{A}_{y},{A}_{z}\right)=\left(\mathrm{j}V/{c}_{0}\text{;}\stackrel{\to }{A}\right)$. Note 4 à l’article: En l’absence de tout risque d’incompréhension, une “symbolique à indice libre” est utilisée, par exemple, une composante ${x}_{\mu }$ au lieu du vecteur complet $\left\{{x}_{\text{μ}}\right\}$. L’indice $\text{μ}$ est alors appelé "indice libre".