Area Physics for electrotechnology / Relativistic physics for electrotechnology IEV ref 113-07-12 en special Lorentz transformation transformation of four-vectors from one inertial frame S to another inertial frame S′ with parallel coordinate axes ${x}_{k}||{{x}^{\prime }}_{k},\text{ }k=1,2,3$, while moving along one of these axes usually denoted by $k=1$ Note 1 to entry: The term “special” in "special Lorentz transformation" is used with a different meaning than that in the term “special theory of relativity”. Note 2 to entry: For a position vector $\left({x}_{0}={c}_{0}t,x,y,z\right)$ and $\stackrel{\to }{\text{ }\text{β}}=\left(\text{β},0,0\right)$ as the velocity of S′ regarding to S, the special Lorentz transformation reads $\begin{array}{l}{c}_{0}{t}^{\prime }=\text{γ}\left({c}_{0}t-\text{β}\text{ }x\right)\\ {x}^{\prime }=\text{γ}\left(x-\text{β}\text{\hspace{0.17em}}{c}_{0}\text{t}\right)\\ {y}^{\prime }=y\\ {z}^{\prime }=z\end{array}$ For a position vector $\left({x}_{0}=\mathrm{j}{c}_{0}t,{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}\right)$ in a complex form with pseudo-Euclidian metric, and $\stackrel{\to }{\text{ }\beta }=\left(\beta ,0,0\right)$ as the velocity of S′ regarding to S, the special Lorentz transformation reads $\begin{array}{l}{{x}^{\prime }}_{0}=\text{γ}{x}_{0}-\mathrm{j}\text{βγ}\text{ }{x}_{1}\\ {{x}^{\prime }}_{1}=\mathrm{j}\text{βγ}\text{ }{x}_{0}+\text{γ}{x}_{1}\\ {{x}^{\prime }}_{2}={x}_{2}\\ {{x}^{\prime }}_{3}={x}_{3}\end{array}$ showing that the special Lorentz transformation is a rotation in a complex plane $\left({x}_{0};{x}_{1}\right)$ with a complex angle $\text{φ}$ where $\mathrm{tan}\text{φ}=\text{β}$. Note 3 to entry: Two special Lorentz transformations along the same axis result in a special Lorentz transformation along the same axis. Two special Lorentz transformations along different axes usually result in a general Lorentz transformation. fr transformation de Lorentz spéciale, f transformation des quadrivecteurs d’un référentiel inertiel S à un autre référentiel inertiel S′ avec des axes de coordonnées parallèles ${x}_{k}||{{x}^{\prime }}_{k},\text{ }k=1,2,3$, conjointement à un déplacement le long de l’un de ces axes généralement désigné par $k=1$ Note 1 à l’article: En anglais, le terme “special” dans "special Lorentz transformation" est utilisé avec une signification différente de "special theory of relativity". Note 2 à l’article: Pour un quadrivecteur position $\left({x}_{0}={c}_{0}t,x,y,z\right)$ et une vitesse $\stackrel{\to }{\text{ }\text{β}}=\left(\text{β},0,0\right)$ de S′ par rapport à S, la transformation de Lorentz spéciale s’écrit comme suit$\begin{array}{l}{c}_{0}{t}^{\prime }=\text{γ}\left({c}_{0}t-\text{β}\text{ }x\right)\\ {x}^{\prime }=\text{γ}\left(x-\text{β}\text{\hspace{0.17em}}{c}_{0}\text{t}\right)\\ {y}^{\prime }=y\\ {z}^{\prime }=z\end{array}$ Pour un quadrivecteur position complexe $\left({x}_{0}=\mathrm{j}{c}_{0}t,{x}_{1},{x}_{2},{x}_{3}\right)$ avec métrique pseudo-euclidienne et une vitesse $\stackrel{\to }{\text{ }\beta }=\left(\beta ,0,0\right)$ de S′ par rapport à S, la transformation de Lorentz spéciale s’écrit comme suit$\begin{array}{l}{{x}^{\prime }}_{0}=\text{γ}{x}_{0}-\mathrm{j}\text{βγ}\text{ }{x}_{1}\\ {{x}^{\prime }}_{1}=\mathrm{j}\text{βγ}\text{ }{x}_{0}+\text{γ}{x}_{1}\\ {{x}^{\prime }}_{2}={x}_{2}\\ {{x}^{\prime }}_{3}={x}_{3}\end{array}$ ce qui indique que la transformation de Lorentz spéciale est une rotation dans un plan complexe $\left({x}_{0};{x}_{1}\right)$ avec un angle complexe $\text{φ}$ où $\mathrm{tan}\text{φ}=\text{β}$. Note 3 à l’article: Deux transformations de Lorentz spéciales le long du même axe produisent une transformation de Lorentz spéciale le long du même axe. Deux transformations de Lorentz spéciales le long d’axes différents produisent habituellement une transformation de Lorentz.