Area Physics for electrotechnology / Relativistic physics for electrotechnology IEV ref 113-07-13 Symbol $L$ en general Lorentz transformationLorentz transformation transformation of four-vectors from one inertial frame S to another inertial frame S′ moving in any given direction Note 1 to entry: General Lorentz transformations form a group. Denoting ${\Omega }_{\text{L}}$ the set of all general Lorentz transformations $L$, following rules are fulfilled: the identity transformation $I$ belongs to ${\Omega }_{\text{L}}$; a composition of general Lorentz transformations is associative, i.e. ${L}^{\prime }\left({L}^{″}{L}^{‴}\right)\text{=}\left({L}^{\prime }{L}^{″}\right){L}^{‴}$; to any $L$ exists an inverse one ${L}^{-1}$ such that $L{L}^{-1}=I$. Note 2 to entry: A general Lorentz transformation is a linear, rotational transformation in space-time. Note 3 to entry: A general Lorentz transformation for synchronized S, S' can be expressed by $\underset{_}{\underset{_}{{x}^{\prime }}}=L\underset{_}{\underset{_}{x}}$ where $L=\left(\begin{array}{cccc}\gamma & -\gamma {\beta }_{x}& -\gamma {\beta }_{y}& -\gamma {\beta }_{z}\\ -\gamma {\beta }_{x}& 1+\frac{\left(\gamma -1\right){\beta }_{x}^{2}}{{\beta }^{2}}& \frac{\left(\gamma -1\right){\beta }_{x}^{}{\beta }_{y}}{{\beta }^{2}}& \frac{\left(\gamma -1\right){\beta }_{x}^{}{\beta }_{z}}{{\beta }^{2}}\\ -\gamma {\beta }_{y}& \frac{\left(\gamma -1\right){\beta }_{x}^{}{\beta }_{y}}{{\beta }^{2}}& 1+\frac{\left(\gamma -1\right){\beta }_{y}^{2}}{{\beta }^{2}}& \frac{\left(\gamma -1\right){\beta }_{y}^{}{\beta }_{z}}{{\beta }^{2}}\\ -\gamma {\beta }_{z}& \frac{\left(\gamma -1\right){\beta }_{x}^{}{\beta }_{z}}{{\beta }^{2}}& \frac{\left(\gamma -1\right){\beta }_{y}^{}{\beta }_{z}}{{\beta }^{2}}& 1+\frac{\left(\gamma -1\right){\beta }_{z}^{2}}{{\beta }^{2}}\end{array}\right)$ In the case where the representation of four-vectors is given by $\underset{_}{\underset{_}{x}}=\left({x}_{0};\stackrel{\to }{x}\right)$ and their transposition by ${\underset{_}{\underset{_}{x}}}^{\text{T}}:={\left({x}_{0};\stackrel{\to }{x}\right)}^{\text{T}}$, then $L=\left(\begin{array}{cc}\gamma & -\gamma {\stackrel{\to }{\beta }}^{\text{T}}\\ -\gamma \stackrel{\to }{\beta }& I+\Gamma \end{array}\right)$, where $I$ is the $3×3$ identity matrix and $\Gamma =\frac{\left(\gamma -1\right)}{{\beta }^{2}}\stackrel{\to }{\beta }{\stackrel{\to }{\beta }}^{\text{T}}$ is a three-dimensional matrix built from the dyadic product of the normalized velocity $\stackrel{\to }{\beta }$. Note 4 to entry: The coherent SI unit of the matrix $L$ describing the general Lorentz transformation is one, symbol 1. fr transformation de Lorentz, f transformation des quadrivecteurs d’un référentiel inertiel à un autre référentiel inertiel S′ qui se déplace dans toute direction donnée Note 1 à l’article: Les transformations de Lorentz forment un groupe. En notant ${\Omega }_{\text{L}}$ l’ensemble des transformations de Lorentz $L$, on a les règles suivantes: la transformation identité $I$ appartient à ${\Omega }_{\text{L}}$; une composition de transformations de Lorentz est associative, c’est-à-dire ${L}^{\prime }\left({L}^{″}{L}^{‴}\right)\text{=}\left({L}^{\prime }{L}^{″}\right){L}^{‴}$; pour toute transformation $L$, il existe une transformation inverse ${L}^{-1}$ de telle sorte que $L{L}^{-1}=I$. Note 2 à l’article: Une transformation de Lorentz est une transformation rotationnelle linéaire dans l’espace-temps. Note 3 à l’article: Une transformation de Lorentz des référentiels inertiels S, S′ synchronisés peut être exprimée par $\underset{_}{\underset{_}{{x}^{\prime }}}=L\underset{_}{\underset{_}{x}}$ où $L=\left(\begin{array}{cccc}\gamma & -\gamma {\beta }_{x}& -\gamma {\beta }_{y}& -\gamma {\beta }_{z}\\ -\gamma {\beta }_{x}& 1+\frac{\left(\gamma -1\right){\beta }_{x}^{2}}{{\beta }^{2}}& \frac{\left(\gamma -1\right){\beta }_{x}^{}{\beta }_{y}}{{\beta }^{2}}& \frac{\left(\gamma -1\right){\beta }_{x}^{}{\beta }_{z}}{{\beta }^{2}}\\ -\gamma {\beta }_{y}& \frac{\left(\gamma -1\right){\beta }_{x}^{}{\beta }_{y}}{{\beta }^{2}}& 1+\frac{\left(\gamma -1\right){\beta }_{y}^{2}}{{\beta }^{2}}& \frac{\left(\gamma -1\right){\beta }_{y}^{}{\beta }_{z}}{{\beta }^{2}}\\ -\gamma {\beta }_{z}& \frac{\left(\gamma -1\right){\beta }_{x}^{}{\beta }_{z}}{{\beta }^{2}}& \frac{\left(\gamma -1\right){\beta }_{y}^{}{\beta }_{z}}{{\beta }^{2}}& 1+\frac{\left(\gamma -1\right){\beta }_{z}^{2}}{{\beta }^{2}}\end{array}\right)$ Dans le cas où la représentation des quadrivecteurs est donnée par $\underset{_}{\underset{_}{x}}=\left({x}_{0};\stackrel{\to }{x}\right)$ et transposée par ${\underset{_}{\underset{_}{x}}}^{\text{T}}:={\left({x}_{0};\stackrel{\to }{x}\right)}^{\text{T}}$, alors $L=\left(\begin{array}{cc}\gamma & -\gamma {\stackrel{\to }{\beta }}^{\text{T}}\\ -\gamma \stackrel{\to }{\beta }& I+\Gamma \end{array}\right)$, où $I$ est la matrice d’identité $3×3$ et $\Gamma =\frac{\left(\gamma -1\right)}{{\beta }^{2}}\stackrel{\to }{\beta }{\stackrel{\to }{\beta }}^{\text{T}}$ est une matrice tridimensionnelle constituée à partir du produit tensoriel de la vitesse normalisée $\stackrel{\to }{\beta }$. Note 4 à l’article: L’unité SI cohérente de la matrice $L$ qui décrit la transformation de Lorentz est un, symbole 1.